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Theorem elnanelprv

Description: The wff ( A e. B -/\ B e. A ) encoded as ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) is true in any model M . This is the model theoretic proof of elnanel . (Contributed by AV, 5-Nov-2023)

Ref Expression
Assertion elnanelprv 
|- ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> M |= ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp1 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> M e. V )
2 3simpc 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A e. _om /\ B e. _om ) )
3 pm3.22 
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( B e. _om /\ A e. _om ) )
4 3 3adant1 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> ( B e. _om /\ A e. _om ) )
5 eqid 
 |-  ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) = ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) )
6 5 satefvfmla1 
 |-  ( ( M e. V /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) /\ ( B e. _om /\ A e. _om ) ) -> ( M SatE ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) ) = { a e. ( M ^m _om ) | ( -. ( a ` A ) e. ( a ` B ) \/ -. ( a ` B ) e. ( a ` A ) ) } )
7 1 2 4 6 syl3anc 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> ( M SatE ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) ) = { a e. ( M ^m _om ) | ( -. ( a ` A ) e. ( a ` B ) \/ -. ( a ` B ) e. ( a ` A ) ) } )
8 elnanel 
 |-  ( ( a ` A ) e. ( a ` B ) -/\ ( a ` B ) e. ( a ` A ) )
9 nanor 
 |-  ( ( ( a ` A ) e. ( a ` B ) -/\ ( a ` B ) e. ( a ` A ) ) <-> ( -. ( a ` A ) e. ( a ` B ) \/ -. ( a ` B ) e. ( a ` A ) ) )
10 8 9 mpbi 
 |-  ( -. ( a ` A ) e. ( a ` B ) \/ -. ( a ` B ) e. ( a ` A ) )
11 10 a1i 
 |-  ( a e. ( M ^m _om ) -> ( -. ( a ` A ) e. ( a ` B ) \/ -. ( a ` B ) e. ( a ` A ) ) )
12 11 rabeqc 
 |-  { a e. ( M ^m _om ) | ( -. ( a ` A ) e. ( a ` B ) \/ -. ( a ` B ) e. ( a ` A ) ) } = ( M ^m _om )
13 7 12 eqtrdi 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> ( M SatE ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) ) = ( M ^m _om ) )
14 ovex 
 |-  ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) e. _V
15 prv 
 |-  ( ( M e. V /\ ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) e. _V ) -> ( M |= ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) <-> ( M SatE ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) ) = ( M ^m _om ) ) )
16 1 14 15 sylancl 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> ( M |= ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) <-> ( M SatE ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) ) = ( M ^m _om ) ) )
17 13 16 mpbird 
 |-  ( ( M e. V /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> M |= ( ( A e.g B ) |g ( B e.g A ) ) )