This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem drsdir

Description: Direction of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015)

Ref Expression
Hypotheses isdrs.b 
|- B = ( Base ` K )
isdrs.l 
|- .<_ = ( le ` K )
Assertion drsdir 
|- ( ( K e. Dirset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> E. z e. B ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 isdrs.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 isdrs.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 1 2 isdrs 
 |-  ( K e. Dirset <-> ( K e. Proset /\ B =/= (/) /\ A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
4 3 simp3bi 
 |-  ( K e. Dirset -> A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) )
5 breq1 
 |-  ( x = X -> ( x .<_ z <-> X .<_ z ) )
6 5 anbi1d 
 |-  ( x = X -> ( ( x .<_ z /\ y .<_ z ) <-> ( X .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
7 6 rexbidv 
 |-  ( x = X -> ( E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) <-> E. z e. B ( X .<_ z /\ y .<_ z ) ) )
8 breq1 
 |-  ( y = Y -> ( y .<_ z <-> Y .<_ z ) )
9 8 anbi2d 
 |-  ( y = Y -> ( ( X .<_ z /\ y .<_ z ) <-> ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) ) )
10 9 rexbidv 
 |-  ( y = Y -> ( E. z e. B ( X .<_ z /\ y .<_ z ) <-> E. z e. B ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) ) )
11 7 10 rspc2v 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B E. z e. B ( x .<_ z /\ y .<_ z ) -> E. z e. B ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) ) )
12 4 11 syl5com 
 |-  ( K e. Dirset -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> E. z e. B ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) ) )
13 12 3impib 
 |-  ( ( K e. Dirset /\ X e. B /\ Y e. B ) -> E. z e. B ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) )