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Theorem dihmeetlem9N

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetlem9.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetlem9.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetlem9.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetlem9.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihmeetlem9.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetlem9.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dihmeetlem9.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihmeetlem9.s 
|- .(+) = ( LSSum ` U )
dihmeetlem9.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
Assertion dihmeetlem9N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetlem9.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetlem9.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihmeetlem9.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 dihmeetlem9.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 dihmeetlem9.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
6 dihmeetlem9.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
7 dihmeetlem9.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8 dihmeetlem9.s 
 |-  .(+) = ( LSSum ` U )
9 dihmeetlem9.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
10 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 3 7 10 dvhlmod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> U e. LMod )
12 eqid 
 |-  ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
13 12 lsssssubg 
 |-  ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) )
14 11 13 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) )
15 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. HL )
16 15 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. Lat )
17 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> X e. B )
18 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> Y e. B )
19 1 5 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
20 16 17 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
21 1 3 9 7 12 dihlss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X ./\ Y ) e. B ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
22 10 20 21 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
23 14 22 sseldd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( SubGrp ` U ) )
24 1 6 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
25 24 3ad2ant3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> p e. B )
26 1 3 9 7 12 dihlss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. B ) -> ( I ` p ) e. ( LSubSp ` U ) )
27 10 25 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` p ) e. ( LSubSp ` U ) )
28 14 27 sseldd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` p ) e. ( SubGrp ` U ) )
29 1 3 9 7 12 dihlss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
30 10 18 29 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) )
31 14 30 sseldd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` Y ) e. ( SubGrp ` U ) )
32 1 2 5 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y )
33 16 17 18 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y )
34 1 2 3 9 dihord 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) <-> ( X ./\ Y ) .<_ Y ) )
35 10 20 18 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) <-> ( X ./\ Y ) .<_ Y ) )
36 33 35 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) )
37 8 lsmmod 
 |-  ( ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` p ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` Y ) e. ( SubGrp ` U ) ) /\ ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) = ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) i^i ( I ` Y ) ) )
38 23 28 31 36 37 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) = ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) i^i ( I ` Y ) ) )
39 lmodabl 
 |-  ( U e. LMod -> U e. Abel )
40 11 39 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> U e. Abel )
41 8 lsmcom 
 |-  ( ( U e. Abel /\ ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` p ) e. ( SubGrp ` U ) ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) = ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) )
42 40 23 28 41 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) = ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) )
43 42 ineq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) )
44 38 43 eqtr2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) )