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Theorem dalem20

Description: Lemma for dath . Show that a second dummy atom d exists outside of the Y and Z planes (when those planes are equal). (Contributed by NM, 14-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalem.ph 
|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
dalem.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dalem.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dalem.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dalem.ps 
|- ( ps <-> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) )
dalem20.o 
|- O = ( LPlanes ` K )
dalem20.y 
|- Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R )
dalem20.z 
|- Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U )
Assertion dalem20 
|- ( ( ph /\ Y = Z ) -> E. c E. d ps )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalem.ph 
 |-  ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
2 dalem.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dalem.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dalem.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 dalem.ps 
 |-  ( ps <-> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) )
6 dalem20.o 
 |-  O = ( LPlanes ` K )
7 dalem20.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R )
8 dalem20.z 
 |-  Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U )
9 1 2 3 4 7 dalem18 
 |-  ( ph -> E. c e. A -. c .<_ Y )
10 9 adantr 
 |-  ( ( ph /\ Y = Z ) -> E. c e. A -. c .<_ Y )
11 1 2 3 4 6 7 8 dalem19 
 |-  ( ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ c e. A ) /\ -. c .<_ Y ) -> E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) )
12 11 ex 
 |-  ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ c e. A ) -> ( -. c .<_ Y -> E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) )
13 12 ancld 
 |-  ( ( ( ph /\ Y = Z ) /\ c e. A ) -> ( -. c .<_ Y -> ( -. c .<_ Y /\ E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) )
14 13 reximdva 
 |-  ( ( ph /\ Y = Z ) -> ( E. c e. A -. c .<_ Y -> E. c e. A ( -. c .<_ Y /\ E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) )
15 10 14 mpd 
 |-  ( ( ph /\ Y = Z ) -> E. c e. A ( -. c .<_ Y /\ E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) )
16 3anass 
 |-  ( ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) <-> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) )
17 5 16 bitri 
 |-  ( ps <-> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) )
18 17 2exbii 
 |-  ( E. c E. d ps <-> E. c E. d ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) )
19 r2ex 
 |-  ( E. c e. A E. d e. A ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) <-> E. c E. d ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) )
20 r19.42v 
 |-  ( E. d e. A ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) <-> ( -. c .<_ Y /\ E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) )
21 20 rexbii 
 |-  ( E. c e. A E. d e. A ( -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) <-> E. c e. A ( -. c .<_ Y /\ E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) )
22 18 19 21 3bitr2ri 
 |-  ( E. c e. A ( -. c .<_ Y /\ E. d e. A ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) <-> E. c E. d ps )
23 15 22 sylib 
 |-  ( ( ph /\ Y = Z ) -> E. c E. d ps )