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Theorem cmt4N

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmcm4i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cmt2.b 
|- B = ( Base ` K )
cmt2.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
cmt2.c 
|- C = ( cm ` K )
Assertion cmt4N 
|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cmt2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cmt2.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
3 cmt2.c 
 |-  C = ( cm ` K )
4 1 2 3 cmt2N 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> X C ( ._|_ ` Y ) ) )
5 omlop 
 |-  ( K e. OML -> K e. OP )
6 5 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
7 simp3 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8 1 2 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9 6 7 8 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
10 1 2 3 cmt3N 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )
11 9 10 syld3an3 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )
12 4 11 bitrd 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )