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Theorem cmt3N

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmcm4i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cmt2.b 
|- B = ( Base ` K )
cmt2.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
cmt2.c 
|- C = ( cm ` K )
Assertion cmt3N 
|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cmt2.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cmt2.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
3 cmt2.c 
 |-  C = ( cm ` K )
4 1 2 3 cmt2N 
 |-  ( ( K e. OML /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y C X <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
5 4 3com23 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y C X <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
6 1 3 cmtcomN 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> Y C X ) )
7 omlop 
 |-  ( K e. OML -> K e. OP )
8 7 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
9 simp2 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10 1 2 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
11 8 9 10 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
12 1 3 cmtcomN 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) C Y <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
13 11 12 syld3an2 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) C Y <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
14 5 6 13 3bitr4d 
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C Y ) )