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Theorem clatglbss

Description: Subset law for greatest lower bound. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2014)

Ref Expression
Hypotheses clatglb.b 
|- B = ( Base ` K )
clatglb.l 
|- .<_ = ( le ` K )
clatglb.g 
|- G = ( glb ` K )
Assertion clatglbss 
|- ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> ( G ` T ) .<_ ( G ` S ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 clatglb.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 clatglb.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 clatglb.g 
 |-  G = ( glb ` K )
4 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) /\ y e. S ) -> K e. CLat )
5 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) /\ y e. S ) -> T C_ B )
6 simp3 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> S C_ T )
7 6 sselda 
 |-  ( ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) /\ y e. S ) -> y e. T )
8 1 2 3 clatglble 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ y e. T ) -> ( G ` T ) .<_ y )
9 4 5 7 8 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) /\ y e. S ) -> ( G ` T ) .<_ y )
10 9 ralrimiva 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> A. y e. S ( G ` T ) .<_ y )
11 simp1 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> K e. CLat )
12 1 3 clatglbcl 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B ) -> ( G ` T ) e. B )
13 12 3adant3 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> ( G ` T ) e. B )
14 sstr 
 |-  ( ( S C_ T /\ T C_ B ) -> S C_ B )
15 14 ancoms 
 |-  ( ( T C_ B /\ S C_ T ) -> S C_ B )
16 15 3adant1 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> S C_ B )
17 1 2 3 clatleglb 
 |-  ( ( K e. CLat /\ ( G ` T ) e. B /\ S C_ B ) -> ( ( G ` T ) .<_ ( G ` S ) <-> A. y e. S ( G ` T ) .<_ y ) )
18 11 13 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> ( ( G ` T ) .<_ ( G ` S ) <-> A. y e. S ( G ` T ) .<_ y ) )
19 10 18 mpbird 
 |-  ( ( K e. CLat /\ T C_ B /\ S C_ T ) -> ( G ` T ) .<_ ( G ` S ) )