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Theorem cdlemk56

Description: Part of Lemma K of Crawley p. 118. Line 11, p. 120, "tau is in Delta" i.e. U is a trace-preserving endormorphism. (Contributed by NM, 31-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
cdlemk5.u 
|- U = ( g e. T |-> if ( F = N , g , X ) )
cdlemk5.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion cdlemk56 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 cdlemk5.u 
 |-  U = ( g e. T |-> if ( F = N , g , X ) )
13 cdlemk5.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
14 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15 vex 
 |-  g e. _V
16 riotaex 
 |-  ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) ) e. _V
17 11 16 eqeltri 
 |-  X e. _V
18 15 17 ifex 
 |-  if ( F = N , g , X ) e. _V
19 18 rgenw 
 |-  A. g e. T if ( F = N , g , X ) e. _V
20 12 fnmpt 
 |-  ( A. g e. T if ( F = N , g , X ) e. _V -> U Fn T )
21 19 20 mp1i 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U Fn T )
22 simpl11 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23 simpl2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
24 simpl12 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> F e. T )
25 simpl13 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> N e. T )
26 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> f e. T )
27 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdlemk35u 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( F e. T /\ N e. T /\ f e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` f ) e. T )
29 22 23 24 25 26 27 28 syl231anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( U ` f ) e. T )
30 29 ralrimiva 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> A. f e. T ( U ` f ) e. T )
31 ffnfv 
 |-  ( U : T --> T <-> ( U Fn T /\ A. f e. T ( U ` f ) e. T ) )
32 21 30 31 sylanbrc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U : T --> T )
33 simp11 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) )
34 simp12 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
35 simp2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> f e. T )
36 simp3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> h e. T )
37 simp13 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdlemk55u 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ f e. T /\ h e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( f o. h ) ) = ( ( U ` f ) o. ( U ` h ) ) )
39 33 34 35 36 37 38 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( U ` ( f o. h ) ) = ( ( U ` f ) o. ( U ` h ) ) )
40 simpl1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) )
41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cdlemk39u 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ f e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
42 40 23 26 27 41 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( R ` ( U ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
43 2 6 7 8 13 14 32 39 42 istendod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )