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Theorem cdlemg4c

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 24-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg4.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg4.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg4.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg4b.v 
|- V = ( R ` G )
Assertion cdlemg4c 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg4.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg4.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 cdlemg4.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
6 cdlemg4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
7 cdlemg4b.v 
 |-  V = ( R ` G )
8 simpll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simplr2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
10 simplr3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> G e. T )
11 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg4b2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) -> ( ( G ` Q ) .\/ V ) = ( Q .\/ ( G ` Q ) ) )
12 8 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( ( G ` Q ) .\/ V ) = ( Q .\/ ( G ` Q ) ) )
13 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) )
14 simpll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> K e. HL )
15 14 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> K e. Lat )
16 simpr1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> P e. A )
17 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
18 17 2 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
19 16 18 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
20 simpl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
21 simpr3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> G e. T )
22 17 3 4 5 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
23 20 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
24 7 23 eqeltrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> V e. ( Base ` K ) )
25 17 1 6 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) ) -> V .<_ ( P .\/ V ) )
26 15 19 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> V .<_ ( P .\/ V ) )
27 26 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> V .<_ ( P .\/ V ) )
28 simpr2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> Q e. A )
29 17 2 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
30 28 29 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
31 17 3 4 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
32 20 21 30 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
33 17 6 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
34 15 19 24 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
35 17 1 6 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) /\ V e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) /\ V .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( ( G ` Q ) .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
36 15 32 24 34 35 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( ( ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) /\ V .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( ( G ` Q ) .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
37 36 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( ( ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) /\ V .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( ( G ` Q ) .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
38 13 27 37 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( ( G ` Q ) .\/ V ) .<_ ( P .\/ V ) )
39 12 38 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( Q .\/ ( G ` Q ) ) .<_ ( P .\/ V ) )
40 15 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> K e. Lat )
41 30 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
42 32 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) )
43 19 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
44 8 10 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( R ` G ) e. ( Base ` K ) )
45 7 44 eqeltrid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> V e. ( Base ` K ) )
46 40 43 45 33 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) )
47 17 1 6 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ ( G ` Q ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ V ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( Q .\/ ( G ` Q ) ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
48 40 41 42 46 47 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( ( Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) <-> ( Q .\/ ( G ` Q ) ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
49 39 48 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> ( Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
50 49 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) /\ ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) -> Q .<_ ( P .\/ V ) )
51 50 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) -> Q .<_ ( P .\/ V ) ) )
52 51 con3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) ) -> ( -. Q .<_ ( P .\/ V ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
53 52 3impia 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) )