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Theorem cdlemg31a

Description: TODO: fix comment. (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg31.n 
|- N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
Assertion cdlemg31a 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemg31.n 
 |-  N = ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) )
9 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> K e. HL )
10 9 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> K e. Lat )
11 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> P e. A )
12 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> v e. A )
13 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
14 13 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ v e. A ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) )
15 9 11 12 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) )
16 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> Q e. A )
17 13 4 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
18 16 17 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
19 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> F e. T )
21 13 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
22 19 20 21 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
23 13 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) )
24 10 18 22 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) )
25 13 1 3 latmle1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ v ) e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) .<_ ( P .\/ v ) )
26 10 15 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> ( ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( R ` F ) ) ) .<_ ( P .\/ v ) )
27 8 26 eqbrtrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( v e. A /\ F e. T ) ) -> N .<_ ( P .\/ v ) )