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Theorem cdlemg17a

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 8-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemg17a 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
10 9 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat )
11 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T )
13 simp2ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
14 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
15 11 12 13 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. A )
16 8 4 atbase 
 |-  ( ( G ` P ) e. A -> ( G ` P ) e. ( Base ` K ) )
17 15 16 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. ( Base ` K ) )
18 8 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) )
19 9 13 15 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) )
20 simp2rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
21 8 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
22 9 13 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
23 1 2 4 hlatlej2 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) )
24 9 13 15 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ ( G ` P ) ) )
25 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
26 eqid 
 |-  ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W )
27 1 2 3 4 5 26 cdleme0cp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( G ` P ) e. A ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) )
28 11 25 15 27 syl12anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) )
29 1 2 4 hlatlej1 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) )
30 9 13 20 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) )
31 1 2 3 4 5 6 7 trlval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` G ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) )
32 11 12 25 31 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` G ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) )
33 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) )
34 32 33 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) )
35 8 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
36 13 35 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
37 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H )
38 8 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
39 37 38 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
40 8 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ ( G ` P ) ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
41 10 19 39 40 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) )
42 8 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
43 10 36 41 22 42 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
44 30 34 43 mpbi2and 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
45 28 44 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) .<_ ( P .\/ Q ) )
46 8 1 10 17 19 22 24 45 lattrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( G e. T /\ ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) .<_ ( P .\/ Q ) )