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Theorem cdlemg14f

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemg14f 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> G e. T )
10 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
11 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
12 1 2 3 4 5 6 ltrnu 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) )
13 8 9 10 11 12 syl211anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) )
14 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> F e. T )
15 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
16 8 9 10 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
17 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` P ) = P )
18 1 4 5 6 ltrnateq 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = ( G ` P ) )
19 8 14 10 16 17 18 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = ( G ` P ) )
20 19 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) )
21 20 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ W ) )
22 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
23 8 9 11 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
24 1 4 5 6 ltrnateq 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( G ` Q ) )
25 8 14 10 23 17 24 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( G ` Q ) )
26 25 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( Q .\/ ( G ` Q ) ) )
27 26 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) )
28 13 21 27 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( ( P .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ./\ W ) )