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Theorem cdlemefr29exN

Description: Lemma for cdlemefs29bpre1N . (Compare cdleme25a .) TODO: FIX COMMENT. TODO: IS THIS NEEDED? (Contributed by NM, 28-Mar-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefr29.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemefr29.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemefr29.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemefr29.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemefr29.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemefr29.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion cdlemefr29exN 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefr29.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemefr29.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemefr29.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemefr29.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemefr29.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemefr29.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
9 1 2 3 4 5 6 lhpmcvr2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
10 7 8 9 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) )
11 nfv 
 |-  F/ s ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
12 nfv 
 |-  F/ s ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
13 nfra1 
 |-  F/ s A. s e. A C e. B
14 11 12 13 nf3an 
 |-  F/ s ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B )
15 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> K e. HL )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> K e. HL )
17 16 hllatd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> K e. Lat )
18 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> A. s e. A C e. B )
19 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> s e. A )
20 rsp 
 |-  ( A. s e. A C e. B -> ( s e. A -> C e. B ) )
21 18 19 20 sylc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> C e. B )
22 15 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> K e. Lat )
23 simp2rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> X e. B )
24 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> W e. H )
25 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
26 24 25 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> W e. B )
27 1 4 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
28 22 23 26 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B )
29 28 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( X ./\ W ) e. B )
30 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ C e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B )
31 17 21 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B )
32 31 expr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ s e. A ) -> ( -. s .<_ W -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )
33 32 adantrd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )
34 33 ancld 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) /\ s e. A ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) ) )
35 34 ex 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( s e. A -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) ) ) )
36 14 35 reximdai 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> ( E. s e. A ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) ) )
37 10 36 mpd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ A. s e. A C e. B ) -> E. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) /\ ( C .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) )