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Theorem cbvprod

Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017)

Ref Expression
Hypotheses cbvprod.1 
|- ( j = k -> B = C )
cbvprod.2 
|- F/_ k A
cbvprod.3 
|- F/_ j A
cbvprod.4 
|- F/_ k B
cbvprod.5 
|- F/_ j C
Assertion cbvprod 
|- prod_ j e. A B = prod_ k e. A C

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cbvprod.1 
 |-  ( j = k -> B = C )
2 cbvprod.2 
 |-  F/_ k A
3 cbvprod.3 
 |-  F/_ j A
4 cbvprod.4 
 |-  F/_ k B
5 cbvprod.5 
 |-  F/_ j C
6 biid 
 |-  ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
7 2 nfcri 
 |-  F/ k j e. A
8 nfcv 
 |-  F/_ k 1
9 7 4 8 nfif 
 |-  F/_ k if ( j e. A , B , 1 )
10 3 nfcri 
 |-  F/ j k e. A
11 nfcv 
 |-  F/_ j 1
12 10 5 11 nfif 
 |-  F/_ j if ( k e. A , C , 1 )
13 eleq1w 
 |-  ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
14 13 1 ifbieq1d 
 |-  ( j = k -> if ( j e. A , B , 1 ) = if ( k e. A , C , 1 ) )
15 9 12 14 cbvmpt 
 |-  ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) )
16 seqeq3 
 |-  ( ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) -> seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
17 15 16 ax-mp 
 |-  seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
18 17 breq1i 
 |-  ( seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y )
19 18 anbi2i 
 |-  ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
20 19 exbii 
 |-  ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
21 20 rexbii 
 |-  ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
22 seqeq3 
 |-  ( ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) -> seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
23 15 22 ax-mp 
 |-  seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
24 23 breq1i 
 |-  ( seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x )
25 6 21 24 3anbi123i 
 |-  ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
26 25 rexbii 
 |-  ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
27 4 5 1 cbvcsbw 
 |-  [_ ( f ` n ) / j ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
28 27 mpteq2i 
 |-  ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
29 seqeq3 
 |-  ( ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) )
30 28 29 ax-mp 
 |-  seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
31 30 fveq1i 
 |-  ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m )
32 31 eqeq2i 
 |-  ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
33 32 anbi2i 
 |-  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
34 33 exbii 
 |-  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
35 34 rexbii 
 |-  ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
36 26 35 orbi12i 
 |-  ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
37 36 iotabii 
 |-  ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
38 df-prod 
 |-  prod_ j e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( j e. ZZ |-> if ( j e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / j ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
39 df-prod 
 |-  prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
40 37 38 39 3eqtr4i 
 |-  prod_ j e. A B = prod_ k e. A C