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Theorem axgroth5

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009)

Ref Expression
Assertion axgroth5 
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax-groth 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2 biid 
 |-  ( x e. y <-> x e. y )
3 pwss 
 |-  ( ~P z C_ y <-> A. w ( w C_ z -> w e. y ) )
4 pwss 
 |-  ( ~P z C_ w <-> A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
5 4 rexbii 
 |-  ( E. w e. y ~P z C_ w <-> E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
6 3 5 anbi12i 
 |-  ( ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
7 6 ralbii 
 |-  ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
8 df-ral 
 |-  ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9 velpw 
 |-  ( z e. ~P y <-> z C_ y )
10 9 imbi1i 
 |-  ( ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11 10 albii 
 |-  ( A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
12 8 11 bitri 
 |-  ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
13 2 7 12 3anbi123i 
 |-  ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
14 13 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
15 1 14 mpbir 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )