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Theorem 2lplnmj

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 2lplnmj.j 
|- .\/ = ( join ` K )
2lplnmj.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
2lplnmj.n 
|- N = ( LLines ` K )
2lplnmj.p 
|- P = ( LPlanes ` K )
2lplnmj.v 
|- V = ( LVols ` K )
Assertion 2lplnmj 
|- ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2lplnmj.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
2 2lplnmj.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
3 2lplnmj.n 
 |-  N = ( LLines ` K )
4 2lplnmj.p 
 |-  P = ( LPlanes ` K )
5 2lplnmj.v 
 |-  V = ( LVols ` K )
6 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> K e. HL )
7 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
8 7 4 lplnbase 
 |-  ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
9 8 3ad2ant2 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X e. ( Base ` K ) )
10 7 4 lplnbase 
 |-  ( Y e. P -> Y e. ( Base ` K ) )
11 10 3ad2ant3 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> Y e. ( Base ` K ) )
12 eqid 
 |-  (
13 7 1 2 12 cvrexch 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) (  X (
14 6 9 11 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) (  X (
15 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> K e. HL )
16 simpr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. N )
17 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> Y e. P )
18 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
19 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
20 7 19 2 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21 18 8 10 20 syl3an 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
22 21 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
23 19 12 3 4 llncvrlpln2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. N /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) (
24 15 16 17 22 23 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) e. N ) -> ( X ./\ Y ) (
25 simpl3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) (  Y e. P )
26 7 2 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27 18 8 10 26 syl3an 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
28 6 27 11 3jca 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
29 7 12 3 4 llncvrlpln 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) (  ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
30 28 29 sylan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) (  ( ( X ./\ Y ) e. N <-> Y e. P ) )
31 25 30 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X ./\ Y ) (  ( X ./\ Y ) e. N )
32 24 31 impbida 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X ./\ Y ) (
33 simpl1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> K e. HL )
34 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X e. P )
35 simpr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> ( X .\/ Y ) e. V )
36 7 19 1 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37 18 8 10 36 syl3an 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38 37 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
39 19 12 4 5 lplncvrlvol2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ ( X .\/ Y ) e. V ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X (
40 33 34 35 38 39 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ ( X .\/ Y ) e. V ) -> X (
41 simpl2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X (  X e. P )
42 7 1 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43 18 8 10 42 syl3an 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44 6 9 43 3jca 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45 7 12 4 5 lplncvrlvol 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X (  ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
46 44 45 sylan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X (  ( X e. P <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )
47 41 46 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) /\ X (  ( X .\/ Y ) e. V )
48 40 47 impbida 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X .\/ Y ) e. V <-> X (
49 14 32 48 3bitr4d 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. P /\ Y e. P ) -> ( ( X ./\ Y ) e. N <-> ( X .\/ Y ) e. V ) )