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Theorem 19.33b

Description: The antecedent provides a condition implying the converse of 19.33 . (Contributed by NM, 27-Mar-2004) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-May-2011) (Proof shortened by Wolf Lammen, 5-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion 19.33b 
|- ( -. ( E. x ph /\ E. x ps ) -> ( A. x ( ph \/ ps ) <-> ( A. x ph \/ A. x ps ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ianor 
 |-  ( -. ( E. x ph /\ E. x ps ) <-> ( -. E. x ph \/ -. E. x ps ) )
2 alnex 
 |-  ( A. x -. ph <-> -. E. x ph )
3 pm2.53 
 |-  ( ( ph \/ ps ) -> ( -. ph -> ps ) )
4 3 al2imi 
 |-  ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( A. x -. ph -> A. x ps ) )
5 2 4 biimtrrid 
 |-  ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( -. E. x ph -> A. x ps ) )
6 olc 
 |-  ( A. x ps -> ( A. x ph \/ A. x ps ) )
7 5 6 syl6com 
 |-  ( -. E. x ph -> ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( A. x ph \/ A. x ps ) ) )
8 19.30 
 |-  ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( A. x ph \/ E. x ps ) )
9 8 orcomd 
 |-  ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( E. x ps \/ A. x ph ) )
10 9 ord 
 |-  ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( -. E. x ps -> A. x ph ) )
11 orc 
 |-  ( A. x ph -> ( A. x ph \/ A. x ps ) )
12 10 11 syl6com 
 |-  ( -. E. x ps -> ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( A. x ph \/ A. x ps ) ) )
13 7 12 jaoi 
 |-  ( ( -. E. x ph \/ -. E. x ps ) -> ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( A. x ph \/ A. x ps ) ) )
14 1 13 sylbi 
 |-  ( -. ( E. x ph /\ E. x ps ) -> ( A. x ( ph \/ ps ) -> ( A. x ph \/ A. x ps ) ) )
15 19.33 
 |-  ( ( A. x ph \/ A. x ps ) -> A. x ( ph \/ ps ) )
16 14 15 impbid1 
 |-  ( -. ( E. x ph /\ E. x ps ) -> ( A. x ( ph \/ ps ) <-> ( A. x ph \/ A. x ps ) ) )