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Theorem reuss2

Description: Transfer uniqueness to a smaller subclass. (Contributed by NM, 20-Oct-2005)

Ref Expression
Assertion reuss2 ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rex ⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
2 df-reu ⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) )
3 1 2 anbi12i ⊢ ( ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) )
4 df-ral ⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ↔ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) )
5 ssel ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
6 pm3.2 ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ( 𝜓 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) )
7 6 imim2d ⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ( ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) )
8 5 7 syl6 ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) ) )
9 8 a2d ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) ) )
10 9 imp4a ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) )
11 10 alimdv ⊢ ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) → ∀ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) )
12 11 imp ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ) → ∀ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) )
13 4 12 sylan2b ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) → ∀ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) )
14 euimmo ⊢ ( ∀ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) → ∃* 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
15 13 14 syl ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) → ∃* 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
16 df-eu ⊢ ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃* 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
17 16 simplbi2 ⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ∃* 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) )
18 15 17 syl9 ⊢ ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) → ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) )
19 18 imp32 ⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) → ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
20 df-reu ⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) )
21 19 20 sylibr ⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ) → ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )
22 3 21 sylan2b ⊢ ( ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ∧ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃! 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ) ) → ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )