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Theorem modprminv

Description: Show an explicit expression for the modular inverse of A mod P . This is an application of prmdiv . (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-May-2018)

Ref Expression
Hypothesis modprminv.1 ⊢ 𝑅 = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 )
Assertion modprminv ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 modprminv.1 ⊢ 𝑅 = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑃 − 2 ) ) mod 𝑃 )
2 1 prmdiv ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) − 1 ) ) )
3 elfzelz ⊢ ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → 𝑅 ∈ ℤ )
4 zmulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 · 𝑅 ) ∈ ℤ )
5 3 4 sylan2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) → ( 𝐴 · 𝑅 ) ∈ ℤ )
6 modprm1div ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝐴 · 𝑅 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) − 1 ) ) )
7 5 6 sylan2 ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) − 1 ) ) )
8 7 expr ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) − 1 ) ) ) )
9 8 3adant3 ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) − 1 ) ) ) )
10 9 pm5.32d ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ) ↔ ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ 𝑃 ∥ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) − 1 ) ) ) )
11 2 10 mpbird ⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐴 · 𝑅 ) mod 𝑃 ) = 1 ) )