This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem djhffval

Description: Subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014)

Ref Expression
Hypothesis djhval.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion djhffval ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( joinH ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 djhval.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 elex ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → 𝐾 ∈ V )
3 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = ( LHyp ‘ 𝐾 ) )
4 3 1 eqtr4di ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = 𝐻 )
5 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( DVecH ‘ 𝑘 ) = ( DVecH ‘ 𝐾 ) )
6 5 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
7 6 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
8 7 pweqd ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
9 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ocH ‘ 𝑘 ) = ( ocH ‘ 𝐾 ) )
10 9 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
11 10 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) )
12 10 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) )
13 11 12 ineq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) = ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) )
14 10 13 fveq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) )
15 8 8 14 mpoeq123dv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) )
16 4 15 mpteq12dv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
17 df-djh ⊢ joinH = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
18 16 17 1 mptfvmpt ⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( joinH ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )
19 2 18 syl ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( joinH ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) , 𝑦 ∈ 𝒫 ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ ( ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑥 ) ∩ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ 𝑦 ) ) ) ) ) )