cdlemk22-3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Lines 26-27, p. 119 for i=1 and j=2. (Contributed by NM, 7-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
	cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion	cdlemk22-3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk3.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk3.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk3.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10		cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = ( 𝑑 ∈ 𝑇 , 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝑑 ) ) ) ) ) )
11		eqid	⊢ ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) = ( 𝑆 ‘ 𝐶 )
12		eqid	⊢ ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐶 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐶 ) ) ) ) ) )
13		eqid	⊢ ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
14		eqid	⊢ ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
15	1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14	cdlemk22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐶 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
16		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑇 )
17		simp212	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
18	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14	cdlemkuu	⊢ ( ( 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) = ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) )
19	16 17 18	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) = ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) )
20	19	fveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
21		simp213	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑇 )
22	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	cdlemkuu	⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) = ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐶 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) )
23	21 17 22	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) = ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐶 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) )
24	23	fveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ^◡ 𝐶 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
25	15 20 24	3eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐶 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )

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Theorem cdlemk22-3

Proof