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Theorem cdlemfnid

Description: cdlemf with additional constraint of non-identity. (Contributed by NM, 20-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemfnid.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemfnid.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemfnid.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemfnid.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemfnid.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemfnid.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemfnid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemfnid.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemfnid.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemfnid.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 cdlemfnid.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
5 cdlemfnid.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 cdlemfnid.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 2 3 4 5 6 cdlemf ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 )
8 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 )
9 simp1rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
10 8 9 eqeltrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐴 )
11 simp1l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
12 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → 𝑓 ∈ 𝑇 )
13 1 3 4 5 6 trlnidatb ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐴 ) )
14 11 12 13 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ↔ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ∈ 𝐴 ) )
15 10 14 mpbird ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
16 8 15 jca ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
17 16 3expia ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑓 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 → ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
18 17 reximdva ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
19 7 18 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) = 𝑈 ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )