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Theorem cdleme40w

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Apply cdleme40v bound variable change to [_ S / u ]_ V . TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 19-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme40.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme40.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme40.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme40.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme40.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme40.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme40.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme40.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme40.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme40.i ⊢ 𝐼 = ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐺 ) )
cdleme40.n ⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
cdleme40.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme40r.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) )
Assertion cdleme40w ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ≠ ⦋ 𝑆 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme40.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme40.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme40.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme40.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme40.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme40.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme40.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8 cdleme40.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 cdleme40.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
10 cdleme40.i ⊢ 𝐼 = ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐺 ) )
11 cdleme40.n ⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
12 cdleme40.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
13 cdleme40r.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) )
14 eqid ⊢ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
15 eqid ⊢ ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
16 eqid ⊢ ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
17 eqid ⊢ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
18 eqid ⊢ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
19 eqid ⊢ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
20 eqid ⊢ if ( 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) = if ( 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
21 eqid ⊢ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑆 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 15 16 17 18 19 20 21 cdleme40n ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ≠ ⦋ 𝑆 / 𝑢 ⦌ if ( 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
23 simp23l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
24 eqid ⊢ ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 16 18 19 20 cdleme40v ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → ⦋ 𝑆 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = ⦋ 𝑆 / 𝑢 ⦌ if ( 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
26 23 25 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ) → ⦋ 𝑆 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = ⦋ 𝑆 / 𝑢 ⦌ if ( 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑧 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( ( 𝑣 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) ) , ( ( 𝑢 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ) )
27 22 26 neeqtrrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ≠ ⦋ 𝑆 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )