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Theorem cdleme39a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Show that f(x) is one-to-one on P .\/ Q line. TODO: FIX COMMENT. E , Y , G , Z serve as f(t), f(u), f_t( R ), f_t( S ). Put hypotheses of cdleme38n in convention of cdleme32sn1awN . TODO see if this hypothesis conversion would be better if done earlier. (Contributed by NM, 15-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme39.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme39.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme39.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme39.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme39.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme39.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme39.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme39.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme39a.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdleme39a ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme39.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme39.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme39.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme39.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme39.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme39.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7 cdleme39.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
8 cdleme39.g ⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 cdleme39a.v ⊢ 𝑉 = ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 )
10 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
14 simp3l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
15 1 2 3 4 5 6 cdleme4 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
16 10 11 12 13 14 15 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
17 simp3r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 cdleme2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑈 )
19 10 11 12 17 18 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑈 )
20 9 19 eqtrid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑉 = 𝑈 )
21 20 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
22 16 21 eqtr4d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) )
23 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
24 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
25 simp3rl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝐴 )
26 2 4 hlatjcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) = ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) )
27 23 24 25 26 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) = ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) )
28 27 oveq1d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) )
29 28 oveq2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) )
30 22 29 oveq12d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
31 8 30 eqtrid ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )