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Theorem cdleme21b

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 115. (Contributed by NM, 28-Nov-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme21a.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme21a.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme21a.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion cdleme21b ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme21a.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme21a.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme21a.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
5 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 hlcvl ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat )
7 5 6 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
8 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
9 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
10 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
11 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
12 1 2 3 atnlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑆 ≠ 𝑃 )
13 12 necomd ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 )
14 5 11 10 9 4 13 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑆 )
15 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) )
16 3 2 cvlsupr5 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑃 )
17 7 10 11 8 14 15 16 syl132anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑃 )
18 1 2 3 cvlatexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑧 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ) )
19 7 8 9 10 17 18 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ) )
20 3 2 cvlsupr8 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑆 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) )
21 7 10 11 8 14 15 20 syl132anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) )
22 21 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ↔ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ) )
23 19 22 sylibrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ) )
24 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
25 24 necomd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → 𝑄 ≠ 𝑃 )
26 1 2 3 cvlatexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑄 ≠ 𝑃 ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
27 7 9 11 10 25 26 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
28 23 27 syld ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ( 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) )
29 4 28 mtod ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) = ( 𝑆 ∨ 𝑧 ) ) ) → ¬ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )