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Metamath Proof Explorer

Theorem blopn

Description: A ball of a metric space is an open set. (Contributed by NM, 9-Mar-2007) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013)

		Ref	Expression
	Hypothesis	mopni.1	$⊢ J = MetOpen (D)$
	Assertion	blopn	$⊢ (D \in ∞Met (X) \land P \in X \land R \in ℝ^{*}) \to P ball (D) R \in J$

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	$⊢ J = MetOpen (D)$
2	1	blssopn	$⊢ D \in ∞Met (X) \to ran ball (D) \subseteq J$
3	2	3ad2ant1	$⊢ (D \in ∞Met (X) \land P \in X \land R \in ℝ^{*}) \to ran ball (D) \subseteq J$
4		blelrn	$⊢ (D \in ∞Met (X) \land P \in X \land R \in ℝ^{*}) \to P ball (D) R \in ran ball (D)$
5	3 4	sseldd	$⊢ (D \in ∞Met (X) \land P \in X \land R \in ℝ^{*}) \to P ball (D) R \in J$