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Theorem zfun

Description: Axiom of Union expressed with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 14-Aug-2003) Use ax-un instead. (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion zfun 
|- E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax-un 
 |-  E. x A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x )
2 elequ2 
 |-  ( w = x -> ( y e. w <-> y e. x ) )
3 elequ1 
 |-  ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
4 2 3 anbi12d 
 |-  ( w = x -> ( ( y e. w /\ w e. z ) <-> ( y e. x /\ x e. z ) ) )
5 4 cbvexvw 
 |-  ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) <-> E. x ( y e. x /\ x e. z ) )
6 5 imbi1i 
 |-  ( ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x ) <-> ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
7 6 albii 
 |-  ( A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x ) <-> A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
8 7 exbii 
 |-  ( E. x A. y ( E. w ( y e. w /\ w e. z ) -> y e. x ) <-> E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x ) )
9 1 8 mpbi 
 |-  E. x A. y ( E. x ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. x )