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Theorem xrmax1

Description: An extended real is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 7-Feb-2007)

Ref Expression
Assertion xrmax1 
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 xrleid 
 |-  ( A e. RR* -> A <_ A )
2 iffalse 
 |-  ( -. A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = A )
3 2 breq2d 
 |-  ( -. A <_ B -> ( A <_ if ( A <_ B , B , A ) <-> A <_ A ) )
4 1 3 syl5ibrcom 
 |-  ( A e. RR* -> ( -. A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) ) )
5 id 
 |-  ( A <_ B -> A <_ B )
6 iftrue 
 |-  ( A <_ B -> if ( A <_ B , B , A ) = B )
7 5 6 breqtrrd 
 |-  ( A <_ B -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
8 4 7 pm2.61d2 
 |-  ( A e. RR* -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )
9 8 adantr 
 |-  ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> A <_ if ( A <_ B , B , A ) )