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Theorem tendovalco

Description: Value of composition of translations in a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendof.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendof.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendof.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion tendovalco 
|- ( ( ( K e. V /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendof.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendof.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3 tendof.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
4 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
5 eqid 
 |-  ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
6 4 1 2 5 3 istendo 
 |-  ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ) ) )
7 coeq1 
 |-  ( f = F -> ( f o. g ) = ( F o. g ) )
8 7 fveq2d 
 |-  ( f = F -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( S ` ( F o. g ) ) )
9 fveq2 
 |-  ( f = F -> ( S ` f ) = ( S ` F ) )
10 9 coeq1d 
 |-  ( f = F -> ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) )
11 8 10 eqeq12d 
 |-  ( f = F -> ( ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) <-> ( S ` ( F o. g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) ) )
12 coeq2 
 |-  ( g = G -> ( F o. g ) = ( F o. G ) )
13 12 fveq2d 
 |-  ( g = G -> ( S ` ( F o. g ) ) = ( S ` ( F o. G ) ) )
14 fveq2 
 |-  ( g = G -> ( S ` g ) = ( S ` G ) )
15 14 coeq2d 
 |-  ( g = G -> ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) )
16 13 15 eqeq12d 
 |-  ( g = G -> ( ( S ` ( F o. g ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` g ) ) <-> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
17 11 16 rspc2v 
 |-  ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
18 17 com12 
 |-  ( A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
19 18 3ad2ant2 
 |-  ( ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
20 6 19 biimtrdi 
 |-  ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) ) )
21 20 3impia 
 |-  ( ( K e. V /\ W e. H /\ S e. E ) -> ( ( F e. T /\ G e. T ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) ) )
22 21 imp 
 |-  ( ( ( K e. V /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( S ` ( F o. G ) ) = ( ( S ` F ) o. ( S ` G ) ) )