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Theorem tendo0pl

Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendo0.b 
|- B = ( Base ` K )
tendo0.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendo0.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
tendo0.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
tendo0.o 
|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
tendo0pl.p 
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
Assertion tendo0pl 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( O P S ) = S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendo0.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 tendo0.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
3 tendo0.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4 tendo0.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
5 tendo0.o 
 |-  O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
6 tendo0pl.p 
 |-  P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) )
7 simpl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 1 2 3 4 5 tendo0cl 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E )
9 8 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> O e. E )
10 simpr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S e. E )
11 2 3 4 6 tendoplcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ O e. E /\ S e. E ) -> ( O P S ) e. E )
12 7 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( O P S ) e. E )
13 simpll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
14 13 8 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> O e. E )
15 simplr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> S e. E )
16 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> g e. T )
17 6 3 tendopl2 
 |-  ( ( O e. E /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( ( O P S ) ` g ) = ( ( O ` g ) o. ( S ` g ) ) )
18 14 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( O P S ) ` g ) = ( ( O ` g ) o. ( S ` g ) ) )
19 5 1 tendo02 
 |-  ( g e. T -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
20 19 adantl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( O ` g ) = ( _I |` B ) )
21 20 coeq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( O ` g ) o. ( S ` g ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( S ` g ) ) )
22 2 3 4 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
23 22 3expa 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) e. T )
24 1 2 3 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S ` g ) e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
25 13 23 24 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B )
26 f1of 
 |-  ( ( S ` g ) : B -1-1-onto-> B -> ( S ` g ) : B --> B )
27 fcoi2 
 |-  ( ( S ` g ) : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( S ` g ) ) = ( S ` g ) )
28 25 26 27 3syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( _I |` B ) o. ( S ` g ) ) = ( S ` g ) )
29 18 21 28 3eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( O P S ) ` g ) = ( S ` g ) )
30 29 ralrimiva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> A. g e. T ( ( O P S ) ` g ) = ( S ` g ) )
31 2 3 4 tendoeq1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( O P S ) e. E /\ S e. E ) /\ A. g e. T ( ( O P S ) ` g ) = ( S ` g ) ) -> ( O P S ) = S )
32 7 12 10 30 31 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> ( O P S ) = S )