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Theorem prodeq2sdv

Description: Equality deduction for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017) Avoid axioms. (Revised by GG, 1-Sep-2025)

Ref Expression
Hypothesis prodeq2sdv.1 
|- ( ph -> B = C )
Assertion prodeq2sdv 
|- ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 prodeq2sdv.1 
 |-  ( ph -> B = C )
2 1 ifeq1d 
 |-  ( ph -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( k e. A , C , 1 ) )
3 2 mpteq2dv 
 |-  ( ph -> ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) )
4 3 seqeq3d 
 |-  ( ph -> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
5 4 breq1d 
 |-  ( ph -> ( seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
6 5 anbi2d 
 |-  ( ph -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
7 6 exbidv 
 |-  ( ph -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
8 7 rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
9 3 seqeq3d 
 |-  ( ph -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) )
10 9 breq1d 
 |-  ( ph -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) )
11 8 10 3anbi23d 
 |-  ( ph -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
12 11 rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
13 1 csbeq2dv 
 |-  ( ph -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
14 13 mpteq2dv 
 |-  ( ph -> ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
15 14 seqeq3d 
 |-  ( ph -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) = seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) )
16 15 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) )
17 16 eqeq2d 
 |-  ( ph -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) )
18 17 anbi2d 
 |-  ( ph -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
19 18 exbidv 
 |-  ( ph -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
20 19 rexbidv 
 |-  ( ph -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
21 12 20 orbi12d 
 |-  ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
22 21 iotabidv 
 |-  ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) )
23 df-prod 
 |-  prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
24 df-prod 
 |-  prod_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , C , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) )
25 22 23 24 3eqtr4g 
 |-  ( ph -> prod_ k e. A B = prod_ k e. A C )