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Theorem poml5N

Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 23-Mar-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses poml4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
poml4.p 
|- ._|_ = ( _|_P ` K )
Assertion poml5N 
|- ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 poml4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
2 poml4.p 
 |-  ._|_ = ( _|_P ` K )
3 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> K e. HL )
4 simp3 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> X C_ ( ._|_ ` Y ) )
5 1 2 polssatN 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ A )
6 5 3adant3 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ A )
7 4 6 sstrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> X C_ A )
8 3 7 6 3jca 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( K e. HL /\ X C_ A /\ ( ._|_ ` Y ) C_ A ) )
9 1 2 3polN 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) )
10 9 3adant3 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) )
11 4 10 jca 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) ) )
12 1 2 poml4N 
 |-  ( ( K e. HL /\ X C_ A /\ ( ._|_ ` Y ) C_ A ) -> ( ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
13 8 11 12 sylc 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y C_ A /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )