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Theorem nllyeq

Description: Equality theorem for the Locally A predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015)

Ref Expression
Assertion nllyeq 
|- ( A = B -> N-Locally A = N-Locally B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eleq2 
 |-  ( A = B -> ( ( j |`t u ) e. A <-> ( j |`t u ) e. B ) )
2 1 rexbidv 
 |-  ( A = B -> ( E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. A <-> E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. B ) )
3 2 2ralbidv 
 |-  ( A = B -> ( A. x e. j A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. A <-> A. x e. j A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. B ) )
4 3 rabbidv 
 |-  ( A = B -> { j e. Top | A. x e. j A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. A } = { j e. Top | A. x e. j A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. B } )
5 df-nlly 
 |-  N-Locally A = { j e. Top | A. x e. j A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. A }
6 df-nlly 
 |-  N-Locally B = { j e. Top | A. x e. j A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j |`t u ) e. B }
7 4 5 6 3eqtr4g 
 |-  ( A = B -> N-Locally A = N-Locally B )