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Theorem luk-1

Description: 1 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion luk-1 
|- ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )
2 merlem13 
 |-  ( ( ph -> ps ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) )
3 merlem13 
 |-  ( ( ( ph -> ps ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) ) -> ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( -. -. -. ( ph -> ps ) -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> -. -. ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) ) )
4 2 3 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( -. -. -. ( ph -> ps ) -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> -. -. ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) )
5 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) -> ph ) -> ( -. -. -. ( ph -> ps ) -> -. ( ph -> ps ) ) ) -> -. -. ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) ) -> ( ( ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) ) )
6 4 5 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ( ch -> ch ) -> ( -. -. -. ph -> -. ph ) ) -> -. -. ph ) -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) ) )
7 1 6 ax-mp 
 |-  ( ( ph -> ps ) -> ( ( ps -> ch ) -> ( ph -> ch ) ) )