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Theorem latnlej2

Description: An idiom to express that a lattice element differs from two others. (Contributed by NM, 10-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses latlej.b 
|- B = ( Base ` K )
latlej.l 
|- .<_ = ( le ` K )
latlej.j 
|- .\/ = ( join ` K )
Assertion latnlej2 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> ( -. X .<_ Y /\ -. X .<_ Z ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latlej.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latlej.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 latlej.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> Y .<_ ( Y .\/ Z ) )
5 4 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y .<_ ( Y .\/ Z ) )
6 simpl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
7 simpr1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
8 simpr2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
9 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
10 9 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
11 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
12 6 7 8 10 11 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
13 5 12 mpan2d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
14 13 con3d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. X .<_ ( Y .\/ Z ) -> -. X .<_ Y ) )
15 1 2 3 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> Z .<_ ( Y .\/ Z ) )
16 15 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z .<_ ( Y .\/ Z ) )
17 simpr3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
18 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) ) -> ( ( X .<_ Z /\ Z .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
19 6 7 17 10 18 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Z /\ Z .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
20 16 19 mpan2d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ Z -> X .<_ ( Y .\/ Z ) ) )
21 20 con3d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. X .<_ ( Y .\/ Z ) -> -. X .<_ Z ) )
22 14 21 jcad 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( -. X .<_ ( Y .\/ Z ) -> ( -. X .<_ Y /\ -. X .<_ Z ) ) )
23 22 3impia 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ -. X .<_ ( Y .\/ Z ) ) -> ( -. X .<_ Y /\ -. X .<_ Z ) )