This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem iunopab

Description: Move indexed union inside an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015) Avoid ax-sep , ax-nul , ax-pr . (Revised by SN, 11-Nov-2024)

Ref Expression
Assertion iunopab 
|- U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elopabw 
 |-  ( w e. _V -> ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) ) )
2 1 elv 
 |-  ( w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3 2 rexbii 
 |-  ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
4 rexcom4 
 |-  ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5 rexcom4 
 |-  ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6 r19.42v 
 |-  ( E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
7 6 exbii 
 |-  ( E. y E. z e. A ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
8 5 7 bitri 
 |-  ( E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
9 8 exbii 
 |-  ( E. x E. z e. A E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
10 4 9 bitri 
 |-  ( E. z e. A E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
11 3 10 bitri 
 |-  ( E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) )
12 11 abbii 
 |-  { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
13 df-iun 
 |-  U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { w | E. z e. A w e. { <. x , y >. | ph } }
14 df-opab 
 |-  { <. x , y >. | E. z e. A ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z e. A ph ) }
15 12 13 14 3eqtr4i 
 |-  U_ z e. A { <. x , y >. | ph } = { <. x , y >. | E. z e. A ph }