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Theorem iscmnd

Description: Properties that determine a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses iscmnd.b 
|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
iscmnd.p 
|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
iscmnd.g 
|- ( ph -> G e. Mnd )
iscmnd.c 
|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
Assertion iscmnd 
|- ( ph -> G e. CMnd )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscmnd.b 
 |-  ( ph -> B = ( Base ` G ) )
2 iscmnd.p 
 |-  ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
3 iscmnd.g 
 |-  ( ph -> G e. Mnd )
4 iscmnd.c 
 |-  ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
5 4 3expib 
 |-  ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6 5 ralrimivv 
 |-  ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
7 2 oveqd 
 |-  ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
8 2 oveqd 
 |-  ( ph -> ( y .+ x ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
9 7 8 eqeq12d 
 |-  ( ph -> ( ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10 1 9 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
11 1 10 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
12 11 anbi2d 
 |-  ( ph -> ( ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
13 3 6 12 mpbi2and 
 |-  ( ph -> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14 eqid 
 |-  ( Base ` G ) = ( Base ` G )
15 eqid 
 |-  ( +g ` G ) = ( +g ` G )
16 14 15 iscmn 
 |-  ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
17 13 16 sylibr 
 |-  ( ph -> G e. CMnd )