This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem hlateq

Description: The equality of two Hilbert lattice elements is determined by the atoms under them. ( chrelat4i analog.) (Contributed by NM, 24-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses hlatle.b 
|- B = ( Base ` K )
hlatle.l 
|- .<_ = ( le ` K )
hlatle.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion hlateq 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> X = Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hlatle.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 hlatle.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 hlatle.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 ralbiim 
 |-  ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) /\ A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) )
5 1 2 3 hlatle 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
6 1 2 3 hlatle 
 |-  ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .<_ X <-> A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) )
7 6 3com23 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .<_ X <-> A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) )
8 5 7 anbi12d 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) /\ A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) ) )
9 4 8 bitr4id 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) ) )
10 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
11 1 2 latasymb 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) )
12 10 11 syl3an1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) )
13 9 12 bitrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> X = Y ) )