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Theorem founiiun

Description: Union expressed as an indexed union, when a map onto is given. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Assertion founiiun 
|- ( F : A -onto-> B -> U. B = U_ x e. A ( F ` x ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 uniiun 
 |-  U. B = U_ y e. B y
2 foelcdmi 
 |-  ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = y )
3 eqimss2 
 |-  ( ( F ` x ) = y -> y C_ ( F ` x ) )
4 3 reximi 
 |-  ( E. x e. A ( F ` x ) = y -> E. x e. A y C_ ( F ` x ) )
5 2 4 syl 
 |-  ( ( F : A -onto-> B /\ y e. B ) -> E. x e. A y C_ ( F ` x ) )
6 5 ralrimiva 
 |-  ( F : A -onto-> B -> A. y e. B E. x e. A y C_ ( F ` x ) )
7 iunss2 
 |-  ( A. y e. B E. x e. A y C_ ( F ` x ) -> U_ y e. B y C_ U_ x e. A ( F ` x ) )
8 6 7 syl 
 |-  ( F : A -onto-> B -> U_ y e. B y C_ U_ x e. A ( F ` x ) )
9 fof 
 |-  ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
10 9 ffvelcdmda 
 |-  ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. B )
11 ssidd 
 |-  ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> ( F ` x ) C_ ( F ` x ) )
12 sseq2 
 |-  ( y = ( F ` x ) -> ( ( F ` x ) C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` x ) ) )
13 12 rspcev 
 |-  ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( F ` x ) C_ ( F ` x ) ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
14 10 11 13 syl2anc 
 |-  ( ( F : A -onto-> B /\ x e. A ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
15 14 ralrimiva 
 |-  ( F : A -onto-> B -> A. x e. A E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
16 iunss2 
 |-  ( A. x e. A E. y e. B ( F ` x ) C_ y -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
17 15 16 syl 
 |-  ( F : A -onto-> B -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
18 8 17 eqssd 
 |-  ( F : A -onto-> B -> U_ y e. B y = U_ x e. A ( F ` x ) )
19 1 18 eqtrid 
 |-  ( F : A -onto-> B -> U. B = U_ x e. A ( F ` x ) )