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Theorem eqsupd

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015)

Ref Expression
Hypotheses supmo.1 
|- ( ph -> R Or A )
eqsupd.2 
|- ( ph -> C e. A )
eqsupd.3 
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
eqsupd.4 
|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
Assertion eqsupd 
|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 supmo.1 
 |-  ( ph -> R Or A )
2 eqsupd.2 
 |-  ( ph -> C e. A )
3 eqsupd.3 
 |-  ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
4 eqsupd.4 
 |-  ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5 3 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. y e. B -. C R y )
6 4 expr 
 |-  ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7 6 ralrimiva 
 |-  ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
8 1 eqsup 
 |-  ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9 2 5 7 8 mp3and 
 |-  ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )