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Theorem dochlkr

Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014)

Ref Expression
Hypotheses dochlkr.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dochlkr.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochlkr.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochlkr.f 
|- F = ( LFnl ` U )
dochlkr.y 
|- Y = ( LSHyp ` U )
dochlkr.l 
|- L = ( LKer ` U )
dochlkr.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochlkr.g 
|- ( ph -> G e. F )
Assertion dochlkr 
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochlkr.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dochlkr.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3 dochlkr.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 dochlkr.f 
 |-  F = ( LFnl ` U )
5 dochlkr.y 
 |-  Y = ( LSHyp ` U )
6 dochlkr.l 
 |-  L = ( LKer ` U )
7 dochlkr.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 dochlkr.g 
 |-  ( ph -> G e. F )
9 eqid 
 |-  ( Base ` U ) = ( Base ` U )
10 1 3 7 dvhlmod 
 |-  ( ph -> U e. LMod )
11 9 4 6 10 8 lkrssv 
 |-  ( ph -> ( L ` G ) C_ ( Base ` U ) )
12 1 3 9 2 dochocss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( L ` G ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
13 7 11 12 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
14 13 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
15 1 3 7 dvhlvec 
 |-  ( ph -> U e. LVec )
16 15 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> U e. LVec )
17 10 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> U e. LMod )
18 simpr 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y )
19 9 5 17 18 lshpne 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) )
20 19 ex 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) ) )
21 9 5 4 6 15 8 lkrshpor 
 |-  ( ph -> ( ( L ` G ) e. Y \/ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) )
22 21 ord 
 |-  ( ph -> ( -. ( L ` G ) e. Y -> ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) )
23 2fveq3 
 |-  ( ( L ` G ) = ( Base ` U ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) )
24 23 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) )
25 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
26 1 3 2 9 25 dochoc1 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( Base ` U ) ) ) = ( Base ` U ) )
27 24 26 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ ( L ` G ) = ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) )
28 27 ex 
 |-  ( ph -> ( ( L ` G ) = ( Base ` U ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) ) )
29 22 28 syld 
 |-  ( ph -> ( -. ( L ` G ) e. Y -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( Base ` U ) ) )
30 29 necon1ad 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= ( Base ` U ) -> ( L ` G ) e. Y ) )
31 20 30 syld 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( L ` G ) e. Y ) )
32 31 imp 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) e. Y )
33 5 16 32 18 lshpcmp 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ( L ` G ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) <-> ( L ` G ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) ) )
34 14 33 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( L ` G ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
35 34 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )
36 35 32 jca 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) )
37 36 ex 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )
38 eleq1 
 |-  ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( L ` G ) e. Y ) )
39 38 biimpar 
 |-  ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y )
40 37 39 impbid1 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) e. Y <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) e. Y ) ) )