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Theorem dochkrshp4

Description: Properties of the closure of the kernel of a functional. (Contributed by NM, 1-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses dochkrshp3.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dochkrshp3.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochkrshp3.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochkrshp3.v 
|- V = ( Base ` U )
dochkrshp3.f 
|- F = ( LFnl ` U )
dochkrshp3.l 
|- L = ( LKer ` U )
dochkrshp3.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochkrshp3.g 
|- ( ph -> G e. F )
Assertion dochkrshp4 
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V \/ ( L ` G ) = V ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochkrshp3.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dochkrshp3.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
3 dochkrshp3.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 dochkrshp3.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 dochkrshp3.f 
 |-  F = ( LFnl ` U )
6 dochkrshp3.l 
 |-  L = ( LKer ` U )
7 dochkrshp3.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 dochkrshp3.g 
 |-  ( ph -> G e. F )
9 df-ne 
 |-  ( ( L ` G ) =/= V <-> -. ( L ` G ) = V )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 dochkrshp3 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) =/= V ) ) )
11 10 biimprd 
 |-  ( ph -> ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) =/= V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V ) )
12 11 expdimp 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) -> ( ( L ` G ) =/= V -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V ) )
13 9 12 biimtrrid 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) -> ( -. ( L ` G ) = V -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V ) )
14 13 orrd 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) -> ( ( L ` G ) = V \/ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V ) )
15 14 orcomd 
 |-  ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V \/ ( L ` G ) = V ) )
16 15 ex 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V \/ ( L ` G ) = V ) ) )
17 simpl 
 |-  ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( L ` G ) =/= V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) )
18 10 17 biimtrdi 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) )
19 1 3 2 4 7 dochoc1 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V )
20 2fveq3 
 |-  ( ( L ` G ) = V -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) )
21 id 
 |-  ( ( L ` G ) = V -> ( L ` G ) = V )
22 20 21 eqeq12d 
 |-  ( ( L ` G ) = V -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` V ) ) = V ) )
23 19 22 syl5ibrcom 
 |-  ( ph -> ( ( L ` G ) = V -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) )
24 18 23 jaod 
 |-  ( ph -> ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V \/ ( L ` G ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) )
25 16 24 impbid 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) =/= V \/ ( L ` G ) = V ) ) )