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Theorem djhspss

Description: Subspace span of union is a subset of subspace join. (Contributed by NM, 6-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses djhspss.h 
|- H = ( LHyp ` K )
djhspss.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
djhspss.v 
|- V = ( Base ` U )
djhspss.n 
|- N = ( LSpan ` U )
djhspss.j 
|- .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
djhspss.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
djhspss.x 
|- ( ph -> X C_ V )
djhspss.y 
|- ( ph -> Y C_ V )
Assertion djhspss 
|- ( ph -> ( N ` ( X u. Y ) ) C_ ( X .\/ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 djhspss.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 djhspss.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3 djhspss.v 
 |-  V = ( Base ` U )
4 djhspss.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
5 djhspss.j 
 |-  .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
6 djhspss.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 djhspss.x 
 |-  ( ph -> X C_ V )
8 djhspss.y 
 |-  ( ph -> Y C_ V )
9 eqid 
 |-  ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
10 7 8 unssd 
 |-  ( ph -> ( X u. Y ) C_ V )
11 1 2 9 3 4 6 10 dochspss 
 |-  ( ph -> ( N ` ( X u. Y ) ) C_ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( X u. Y ) ) ) )
12 1 2 3 9 5 djhval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( X .\/ Y ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( X u. Y ) ) ) )
13 6 7 8 12 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( X .\/ Y ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( X u. Y ) ) ) )
14 11 13 sseqtrrd 
 |-  ( ph -> ( N ` ( X u. Y ) ) C_ ( X .\/ Y ) )