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Theorem dihord6b

Description: Part of proof that isomorphism H is order-preserving . (Contributed by NM, 7-Mar-2014)

Ref Expression
Hypotheses dihord3.b 
|- B = ( Base ` K )
dihord3.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihord3.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihord3.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
Assertion dihord6b 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihord3.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihord3.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihord3.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 dihord3.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
5 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> -. X .<_ W )
6 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> Y .<_ W )
7 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> K e. HL )
8 7 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> K e. Lat )
9 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> X e. B )
10 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> Y e. B )
11 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> W e. H )
12 1 3 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
13 11 12 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> W e. B )
14 1 2 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ W ) -> X .<_ W ) )
15 8 9 10 13 14 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ W ) -> X .<_ W ) )
16 6 15 mpan2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y -> X .<_ W ) )
17 5 16 mtod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> -. X .<_ Y )
18 17 pm2.21d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) -> ( X .<_ Y -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) ) )
19 18 imp 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) /\ ( Y e. B /\ Y .<_ W ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( I ` X ) C_ ( I ` Y ) )