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Theorem dihoml4

Description: Orthomodular law for constructed vector space H. Lemma 3.3(1) in Holland95 p. 215. ( poml4N analog.) (Contributed by NM, 15-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses dihoml4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihoml4.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihoml4.s 
|- S = ( LSubSp ` U )
dihoml4.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dihoml4.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dihoml4.x 
|- ( ph -> X e. S )
dihoml4.y 
|- ( ph -> Y e. S )
dihoml4.c 
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
dihoml4.l 
|- ( ph -> X C_ Y )
Assertion dihoml4 
|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihoml4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dihoml4.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3 dihoml4.s 
 |-  S = ( LSubSp ` U )
4 dihoml4.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
5 dihoml4.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6 dihoml4.x 
 |-  ( ph -> X e. S )
7 dihoml4.y 
 |-  ( ph -> Y e. S )
8 dihoml4.c 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
9 dihoml4.l 
 |-  ( ph -> X C_ Y )
10 eqid 
 |-  ( Base ` U ) = ( Base ` U )
11 10 3 lssss 
 |-  ( X e. S -> X C_ ( Base ` U ) )
12 6 11 syl 
 |-  ( ph -> X C_ ( Base ` U ) )
13 eqid 
 |-  ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
14 1 13 2 10 4 dochcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
15 5 12 14 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
16 1 13 4 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` X ) )
17 5 15 16 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` X ) )
18 17 ineq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) i^i Y ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) )
19 18 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) i^i Y ) ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) )
20 19 ineq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) )
21 1 2 10 4 dochssv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` U ) )
22 5 12 21 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` U ) )
23 1 13 2 10 4 dochcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
24 5 22 23 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
25 10 3 lssss 
 |-  ( Y e. S -> Y C_ ( Base ` U ) )
26 7 25 syl 
 |-  ( ph -> Y C_ ( Base ` U ) )
27 1 13 2 10 4 5 26 dochoccl 
 |-  ( ph -> ( Y e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y ) )
28 8 27 mpbird 
 |-  ( ph -> Y e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
29 1 2 10 4 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ ( Base ` U ) /\ X C_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
30 5 26 9 29 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) )
31 1 2 10 4 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ ( Base ` U ) /\ ( ._|_ ` Y ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
32 5 22 30 31 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) )
33 32 8 sseqtrd 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ Y )
34 1 13 4 5 24 28 33 dihoml4c 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
35 20 34 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i Y ) ) i^i Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )