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Theorem cvrval4N

Description: Binary relation expressing Y covers X . (Contributed by NM, 16-Jun-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cvrval4.b 
|- B = ( Base ` K )
cvrval4.s 
|- .< = ( lt ` K )
cvrval4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cvrval4.c 
|- C = (
cvrval4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion cvrval4N 
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cvrval4.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cvrval4.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
3 cvrval4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cvrval4.c 
 |-  C = (
5 cvrval4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 1 2 4 cvrlt 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> X .< Y )
7 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
8 1 7 3 4 5 cvrval3 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> E. p e. A ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )
9 simpr 
 |-  ( ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> ( X .\/ p ) = Y )
10 9 reximi 
 |-  ( E. p e. A ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> E. p e. A ( X .\/ p ) = Y )
11 8 10 biimtrdi 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y -> E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) )
12 11 imp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> E. p e. A ( X .\/ p ) = Y )
13 6 12 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X C Y ) -> ( X .< Y /\ E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) )
14 13 ex 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y -> ( X .< Y /\ E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) ) )
15 simp1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> X .< Y )
16 simp3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> ( X .\/ p ) = Y )
17 15 16 breqtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> X .< ( X .\/ p ) )
18 simp1l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> K e. HL )
19 simp1l2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> X e. B )
20 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> p e. A )
21 1 7 3 4 5 cvr1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ p e. A ) -> ( -. p ( le ` K ) X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
22 18 19 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> ( -. p ( le ` K ) X <-> X C ( X .\/ p ) ) )
23 1 2 3 4 5 cvr2N 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ p e. A ) -> ( X .< ( X .\/ p ) <-> X C ( X .\/ p ) ) )
24 18 19 20 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> ( X .< ( X .\/ p ) <-> X C ( X .\/ p ) ) )
25 22 24 bitr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> ( -. p ( le ` K ) X <-> X .< ( X .\/ p ) ) )
26 17 25 mpbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> -. p ( le ` K ) X )
27 26 16 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A /\ ( X .\/ p ) = Y ) -> ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) )
28 27 3exp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( p e. A -> ( ( X .\/ p ) = Y -> ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) ) )
29 28 reximdvai 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( E. p e. A ( X .\/ p ) = Y -> E. p e. A ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )
30 29 expimpd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .< Y /\ E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) -> E. p e. A ( -. p ( le ` K ) X /\ ( X .\/ p ) = Y ) ) )
31 30 8 sylibrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .< Y /\ E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) -> X C Y ) )
32 14 31 impbid 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( X .< Y /\ E. p e. A ( X .\/ p ) = Y ) ) )