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Theorem cdlemn6

Description: Part of proof of Lemma N of Crawley p. 121 line 35. (Contributed by NM, 26-Feb-2014)

Ref Expression
Hypotheses cdlemn8.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemn8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn8.p 
|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn8.o 
|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn8.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
cdlemn8.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn8.s 
|- .+ = ( +g ` U )
cdlemn8.f 
|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
Assertion cdlemn6 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemn8.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemn8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemn8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemn8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemn8.p 
 |-  P = ( ( oc ` K ) ` W )
6 cdlemn8.o 
 |-  O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
7 cdlemn8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemn8.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
9 cdlemn8.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10 cdlemn8.s 
 |-  .+ = ( +g ` U )
11 cdlemn8.f 
 |-  F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
12 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> s e. E )
14 2 3 4 5 lhpocnel2 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
15 12 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
16 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
17 2 3 4 7 11 ltrniotacl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )
18 12 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> F e. T )
19 4 7 8 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ F e. T ) -> ( s ` F ) e. T )
20 12 13 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( s ` F ) e. T )
21 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> g e. T )
22 1 4 7 8 6 tendo0cl 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. E )
23 12 22 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> O e. E )
24 eqid 
 |-  ( Scalar ` U ) = ( Scalar ` U )
25 eqid 
 |-  ( +g ` ( Scalar ` U ) ) = ( +g ` ( Scalar ` U ) )
26 4 7 8 9 24 10 25 dvhopvadd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s ` F ) e. T /\ s e. E ) /\ ( g e. T /\ O e. E ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , ( s ( +g ` ( Scalar ` U ) ) O ) >. )
27 12 20 13 21 23 26 syl122anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , ( s ( +g ` ( Scalar ` U ) ) O ) >. )
28 eqid 
 |-  ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) ) = ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) )
29 4 7 8 9 24 28 25 dvhfplusr 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( +g ` ( Scalar ` U ) ) = ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) ) )
30 12 29 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( +g ` ( Scalar ` U ) ) = ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) ) )
31 30 oveqd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( s ( +g ` ( Scalar ` U ) ) O ) = ( s ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) ) O ) )
32 1 4 7 8 6 28 tendo0plr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E ) -> ( s ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) ) O ) = s )
33 12 13 32 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( s ( t e. E , u e. E |-> ( h e. T |-> ( ( t ` h ) o. ( u ` h ) ) ) ) O ) = s )
34 31 33 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( s ( +g ` ( Scalar ` U ) ) O ) = s )
35 34 opeq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> <. ( ( s ` F ) o. g ) , ( s ( +g ` ( Scalar ` U ) ) O ) >. = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )
36 27 35 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( s e. E /\ g e. T ) ) -> ( <. ( s ` F ) , s >. .+ <. g , O >. ) = <. ( ( s ` F ) o. g ) , s >. )