This is an inofficial mirror of http://metamath.tirix.org for personal testing of a visualizer extension only.

Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk46

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 38 (last line), p. 119. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion cdlemk46 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> I e. T )
14 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> G e. T )
15 6 7 ltrncom 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T /\ G e. T ) -> ( I o. G ) = ( G o. I ) )
16 12 13 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( I o. G ) = ( G o. I ) )
17 16 csbeq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> [_ ( I o. G ) / g ]_ X = [_ ( G o. I ) / g ]_ X )
18 17 fveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( I o. G ) / g ]_ X ` P ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) )
19 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
20 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> I =/= ( _I |` B ) )
21 13 20 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) )
22 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
23 simp13r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> G =/= ( _I |` B ) )
24 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) )
25 16 24 eqnetrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( I o. G ) =/= ( _I |` B ) )
26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk45 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( I o. G ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( I o. G ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )
27 12 19 21 22 14 23 25 26 syl313anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( I o. G ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )
28 18 27 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )