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Theorem cdlemg8c

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg8.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg8.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemg8c 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg8.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg8.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
9 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
10 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> F e. T )
11 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> G e. T )
12 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) )
13 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> K e. HL )
14 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
15 7 11 9 14 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
16 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` P ) ) .<_ W ) )
17 16 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
18 7 10 15 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
19 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
20 7 11 8 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
21 1 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) -> ( ( F ` ( G ` Q ) ) e. A /\ -. ( F ` ( G ` Q ) ) .<_ W ) )
22 21 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
23 7 10 20 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
24 2 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )
25 13 18 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )
26 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> P e. A )
27 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> Q e. A )
28 2 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
29 13 26 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
30 12 25 29 3eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( Q .\/ P ) )
31 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) =/= P )
32 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
33 simpl22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
34 simpl21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
35 simpl23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> F e. T )
36 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> G e. T )
37 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = Q )
38 1 4 5 6 cdlemg6 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
39 32 33 34 35 36 37 38 syl123anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) = Q ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
40 39 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( F ` ( G ` Q ) ) = Q -> ( F ` ( G ` P ) ) = P ) )
41 40 necon3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) =/= P -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q ) )
42 31 41 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q )
43 1 2 3 4 5 6 cdlemg8b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( Q .\/ P ) /\ ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( Q .\/ P ) )
44 7 8 9 10 11 30 42 43 syl133anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( Q .\/ P ) )
45 44 29 eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) =/= P ) ) -> ( Q .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( P .\/ Q ) )