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Theorem cdlemg7N

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 28-Apr-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg7.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemg7.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg7.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg7.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg7.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemg7N 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg7.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemg7.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemg7.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 cdlemg7.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 cdlemg7.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
6 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> F e. T )
8 simpl32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> G e. T )
9 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> X e. B )
10 1 4 5 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ X e. B ) -> ( G ` X ) e. B )
11 6 8 9 10 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> ( G ` X ) e. B )
12 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> X .<_ W )
13 1 2 4 5 ltrnval1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( X e. B /\ X .<_ W ) ) -> ( G ` X ) = X )
14 6 8 9 12 13 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> ( G ` X ) = X )
15 14 12 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> ( G ` X ) .<_ W )
16 1 2 4 5 ltrnval1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( G ` X ) e. B /\ ( G ` X ) .<_ W ) ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = ( G ` X ) )
17 6 7 11 15 16 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = ( G ` X ) )
18 17 14 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ X .<_ W ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = X )
19 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
20 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
21 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> X e. B )
22 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> -. X .<_ W )
23 21 22 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> ( X e. B /\ -. X .<_ W ) )
24 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> F e. T )
25 simpl32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> G e. T )
26 simpl33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
27 1 2 3 4 5 cdlemg7aN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( X e. B /\ -. X .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = X )
28 19 20 23 24 25 26 27 syl123anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) /\ -. X .<_ W ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = X )
29 18 28 pm2.61dan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ X e. B ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` X ) ) = X )